В Красной Армии с 1935 года. В годы Великой Отечественной войны штурман 59-го гвардейского штурмового авиаполка (2-я гвардейская штурмовая авиадивизия, 16-я воздушная армия, Центральный фронт). Сражался на Калининском, Сталинградском, Донском, Центральном фронтах. Григорий Копаев отличался искусным самолетовождением и точностью выхода на цель в ночных условиях. Совершил 245 боевых вылетов. В 1944–1945 годах воевал на Ил-2 с надписью «Белокалитвинский призывник», построенный лично для лётчика на деньги его земляков. Награждён двумя орденами Ленина, тремя орденами Красного Знамени, двумя орденами Отечественной войны I-й степени, орденом Красной Звезды, медалями, в том числе «За оборону Сталинграда». В городе Белая Калитва Ростовской области именем Героя названа улица. На здании школы, где он учился с 1930 по 1932 год, установлена мемориальная доска. В селе Петровское Тамбовской области портрет лётчика высечен на гранитной плите на аллее Героев.